Што такое мяжа функцыі

У гэтай публікацыі мы разгледзім адно з асноўных паняццяў матэматычнага аналізу – ліміт функцыі: яго азначэнне, а таксама розныя рашэнні з практычнымі прыкладамі.

Вызначэнне ліміту функцыі

Абмежаванне функцый – значэнне, да якога імкнецца значэнне гэтай функцыі пры імкненні яе аргумента да гранічнага пункта.

Лімітавая запіс:

• мяжа пазначана значком іт;
• ніжэй дадаецца, да якога значэння імкнецца аргумент (зменная) функцыі. Звычайна гэта x, але не абавязкова, напрыклад:x→1″;
• то сама функцыя дадаецца справа, напрыклад:

  

Такім чынам, выніковая запіс ліміту выглядае так (у нашым выпадку):

Чытаецца як «мяжа функцыі пры імкненні x да адзінкі».

x→ 1 – гэта азначае, што «х» паслядоўна прымае значэнні, якія бясконца набліжаюцца да адзінкі, але ніколі не супадуць з ёй (не будуць дасягнуты).

Межы рашэнняў

З зададзеным лікам

Развяжам абмежаванне вышэй. Для гэтага проста падстаўце адзінку ў функцыю (таму што x→1):

Такім чынам, каб развязаць мяжу, мы спачатку паспрабуем проста падставіць зададзены лік у функцыю пад ім (калі х імкнецца да пэўнага ліку).

З бясконцасцю

У гэтым выпадку аргумент функцыі бясконца ўзрастае, г.зн. "Х" імкнецца да бясконцасці (∞). Напрыклад:

If x→∞, то зададзеная функцыя імкнецца да мінус бясконцасці (-∞), таму што:

• 3 - 1 = 2
• 3 – 10 = -7
• 3 – 100 = -97
• 3 – 1000 – 997 г.д.

Яшчэ адзін больш складаны прыклад

Каб вырашыць гэтую мяжу, проста павялічце значэнні x і паглядзіце на «паводзіны» функцыі ў гэтым выпадку.

• РџСЂРё x = 1, у = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• РџСЂРё x = 10, у = 10² + 3 · 10 – 6 = 124
• РџСЂРё x = 100, у = 100² + 3 · 100 – 6 = 10294

Такім чынам, для "Х"якая імкнецца да бясконцасці, функцыя x² + 3х – 6 расце бясконца.

З нявызначанасцю (x імкнецца да бясконцасці)

У дадзеным выпадку гаворка ідзе аб межах, калі функцыя ўяўляе сабой дроб, лічнік і назоўнік якой з'яўляюцца мнагачленамі. Пры чым "Х" імкнецца да бясконцасці.

прыклад: давайце вылічым ліміт ніжэй.

Рашэнне

Выразы як у лічніку, так і ў назоўніку імкнуцца да бясконцасці. Можна меркаваць, што ў гэтым выпадку рашэнне будзе наступным:

Аднак не ўсё так проста. Каб вырашыць мяжу, нам трэба зрабіць наступнае:

1. Знайсці x у найбольшай ступені для лічніка (у нашым выпадку гэта двойка).

2. Аналагічным чынам вызначаем x у найвышэйшай ступені для назоўніка (таксама роўны двум).

3. Цяпер мы дзелім і лічнік, і назоўнік на x у старэйшай ступені. У нас у абодвух выпадках – у другім, але калі б яны былі рознымі, трэба браць вышэйшую ступень.

4. У атрыманым выніку ўсе дробы імкнуцца да нуля, таму адказ 1/2.

З нявызначанасцю (х імкнецца да пэўнага ліку)

І лічнік, і назоўнік з'яўляюцца мнагачленамі, аднак, "Х" імкнецца да пэўнага ліку, а не да бясконцасці.

У дадзеным выпадку мы ўмоўна заплюшчваем вочы на ​​тое, што назоўнік роўны нулю.

прыклад: Давайце знойдзем мяжу функцыі ніжэй.

Рашэнне

1. Спачатку падставім лік 1 у функцыю, якой "Х". Мы атрымліваем нявызначанасць формы, якую разглядаем.

2. Далей раскладаем лічнік і назоўнік на множнікі. Для гэтага можна выкарыстоўваць скарочаныя формулы множання, калі яны падыходзяць, або.

У нашым выпадку карані выразу ў лічніку (2x² – 5x + 3 = 0) — лічбы 1 і 1,5. Такім чынам, гэта можа быць прадстаўлена ў выглядзе: 2(х-1)(х-1,5).

Назоўнік (х–1) першапачаткова просты.

3. Атрымліваем такі мадыфікаваны ліміт:

4. Дроб можна скараціць на (х–1):

5. Засталося толькі падставіць лічбу 1 у атрыманы выраз пад мяжой: