Азначэнне і ўласцівасці медыяны трохвугольніка

У дадзеным артыкуле мы разгледзім азначэнне медыяны трохвугольніка, пералічым яе ўласцівасці, а таксама разбяром прыклады рашэння задач на замацаванне тэарэтычнага матэрыялу.

Азначэнне медыяны трохвугольніка

медыяна — адрэзак прамой, які злучае вяршыню трохвугольніка з сярэдзінай процілеглага боку гэтай вяршыні.

• BF - медыяна, праведзеная да боку AC.
• AF = FC

Базавая медыяна – кропка перасячэння медыяны са стараной трохвугольніка, інакш кажучы, сярэдзіна гэтай стараны (кропка F).

медыяна ўласцівасці

Уласцівасць 1 (галоўная)

Бо калі ў трохвугольніка тры вяршыні і тры бакі, то медыян адпаведна тры. Усе яны перасякаюцца ў адной кропцыO), што называецца цэнтроід or цэнтр цяжару трохвугольніка.

У кропцы перасячэння медыян кожная з іх дзеліцца ў прапорцыі 2: 1, лічачы зверху. Тыя.:

• AO = 2OE
• BO = 2OF
• CO = 2OD

Уласцівасць 2

Медыяна дзеліць трохвугольнік на 2 трохвугольнікі роўнай плошчы.

S₁ = С₂

Уласцівасць 3

Тры медыяны дзеляць трохвугольнік на 6 трохвугольнікаў роўнай плошчы.

S₁ = С₂ = С₃ = С₄ = С₅ = С₆

Уласцівасць 4

Найбольшай старане трохвугольніка адпавядае найменшая медыяна, і наадварот.

• AC з'яўляецца самым доўгім бокам, такім чынам, медыяна BF – самы кароткі.
• AB з'яўляецца самым кароткім бокам, такім чынам, медыяна CD – самы доўгі.

Уласцівасць 5

Дапусцім, мы ведаем усе бакі трохвугольніка (прымем іх за a, b и c).

сярэдняя даўжыня m_aадцягнуты ў бок a, можна знайсці па формуле:

Прыклады задач

Заданне 1

Плошча адной з фігур, якая ўтварылася ў выніку перасячэння трох медыян у трохвугольніку, роўная 5 см.². Знайдзіце плошчу трохвугольніка.

Рашэнне

Паводле ўласцівасці 3, разгледжанай вышэй, у выніку перасячэння трох медыян утвараецца 6 трохвугольнікаў, роўных па плошчы. Такім чынам:

S_△ = 5 см² ⋅ 6 = 30 см².

Заданне 2

Стораны трохвугольніка роўныя 6, 8 і 10 см. Знайдзіце медыяну, праведзеную да стараны даўжынёй 6 см.

Рашэнне

Давайце скарыстаемся формулай, прыведзенай ва ўласцівасці 5: