змест
У дадзенай публікацыі мы разгледзім вызначэнне рангу матрыцы, а таксама метады, з дапамогай якіх яго можна знайсці. Мы таксама прааналізуем прыклады, каб прадэманстраваць прымяненне тэорыі на практыцы.
Вызначэнне рангу матрыцы
Ранг матрыцы гэта ранг яго сістэмы радкоў або слупкоў. Любая матрыца мае свае рангі радка і слупка, якія аднолькавыя адзін аднаму.
Ранг сістэмы шэрагаў — максімальная колькасць лінейна незалежных радкоў. Аналагічным чынам вызначаецца ранг калоннай сістэмы.
Заўвагі:
- Ранг нулявой матрыцы (пазначаецца сімвалам «θ“) любога памеру роўны нулю.
- Ранг любога ненулявога вектара-радка або вектара-слупка роўны адзінцы.
- Калі матрыца любога памеру змяшчае хаця б адзін элемент, які не роўны нулю, то яе ранг не ніжэйшы за адзінку.
- Ранг матрыцы не перавышае яе мінімальнага памеру.
- Элементарныя пераўтварэнні, выкананыя над матрыцай, не змяняюць яе ранг.
Знаходжанне рангу матрыцы
Мінорны метад акантоўкі
Ранг матрыцы роўны максімальнаму парадку ненуля.
Алгарытм наступны: знайсці непаўналетніх ад ніжэйшых парадкаў да вышэйшых. Калі нязначны nй парадак не роўны нулю, а ўсе наступныя (п + 1) роўныя 0, таму ранг матрыцы роўны n.
Прыклад
Каб было больш зразумела, возьмем практычны прыклад і знойдзем ранг матрыцы A унізе метадам аблямоўвання непаўналетніх.
Рашэнне
Мы маем справу з матрыцай 4 × 4, таму яе ранг не можа быць вышэй за 4. Акрамя таго, у матрыцы прысутнічаюць ненулявыя элементы, а гэта значыць, што яе ранг не менш адзінкі. Такім чынам, давайце пачнем:
1. Пачаць праверку непаўналетнія другога парадку. Для пачатку бярэм па два шэрагу першага і другога слупкоў.
Мінор роўны нулю.
Таму пераходзім да наступнага мінору (першы слупок застаецца, а замест другога бярэм трэці).
Мінор роўны 54≠0, таму ранг матрыцы не меншы за два.
нататка: Калі б гэты мінор апынуўся роўным нулю, мы б дадаткова праверылі наступныя камбінацыі:
Пры неабходнасці пералік можна працягнуць такім жа чынам з радкамі:
- 1 і 3;
- 1 і 4;
- 2 і 3;
- 2 і 4;
- 3 і 4.
Калі б усе міноры другога парадку былі роўныя нулю, то ранг матрыцы быў бы роўны адзінцы.
2. Амаль адразу ўдалося знайсці непаўналетняга, які нас задавальняе. Такім чынам, пяройдзем да непаўналетнія трэцяга парадку.
Да знойдзенага мінора другога парадку, які даў ненулявы вынік, дадаем адзін радок і адзін з выдзеленых зялёным колерам слупкоў (пачынаем з другога).
Мінор аказаўся нулявым.
Таму другі слупок мяняем на чацвёрты. І з другой спробы ўдаецца знайсці мінор, не роўны нулю, а гэта значыць, што ранг матрыцы не можа быць менш за 3.
нататка: калі б вынік зноў апынуўся нулявым, то замест другога радка бяром далей чацвёрты і працягваем пошук «добрага» мінора.
3. Цяпер засталося вызначыцца непаўналетнія чацвёртага парадку на аснове таго, што было знойдзена раней. У гэтым выпадку гэта той, які адпавядае вызначальніку матрыцы.
Мінор роўны 144≠0. Гэта азначае, што ранг матрыцы A роўна 4.
Прывядзенне матрыцы да ступеністай формы
Ранг матрыцы кроку роўны колькасці яе ненулявых радкоў. Гэта значыць, усё, што нам трэба зрабіць, гэта прывесці матрыцу ў адпаведны выгляд, напрыклад, з дапамогай , якія, як мы ўжо згадвалі вышэй, не мяняюць яе ранг.
Прыклад
Знайдзіце ранг матрыцы B ніжэй. Мы не бярэм занадта складаны прыклад, таму што наша галоўная мэта - проста прадэманстраваць прымяненне метаду на практыцы.
Рашэнне
1. Спачатку ад другой лініі адніміце падвоеную першую.
2. Цяпер адніміце першы радок ад трэцяга радка, памножанага на чатыры.
Такім чынам, мы атрымалі крокавую матрыцу, у якой колькасць ненулявых радкоў роўна двум, такім чынам, яе ранг таксама роўны 2.