Выманне кораня з камплекснага ліку

У гэтай публікацыі мы разгледзім, як можна выняць корань з камплекснага ліку, а таксама як гэта можа дапамагчы ў рашэнні квадратных ураўненняў, дыскрымінант якіх меншы за нуль.

Выманне кораня з камплекснага ліку

Квадратны корань

Як вядома, немагчыма выняць корань з адмоўнага рэчаіснага ліку. Але калі справа даходзіць да комплексных лікаў, гэта дзеянне можна выканаць. Давайце разбяромся.

Дапусцім, у нас ёсць нумар z = -9. Для √-9 ёсць два карані:

z₁ = √-9 = -3і

z₁ = √-9 = 3i

Праверым атрыманыя вынікі, рашаючы ўраўненне z² = -9, не забываючы пра гэта i² = -1:

(-3i)² = (-3)² ⋅ я² = 9 ⋅ (-1) = -9

(3і)² = 3² ⋅ я² = 9 ⋅ (-1) = -9

Такім чынам, мы гэта даказалі -3і и 3i з'яўляюцца каранямі √-9.

Корань адмоўнага ліку звычайна запісваюць так:

√-1 = ±i

√-4 = ±2і

√-9 = ±3і

√16- = ±4і і г.д.

Корань у ступені чаго-н

Няхай нам дадзены ўраўненні выгляду z = ⁿ√w…Ён мае n карані (z₀Або₁Або₂,…, з_n-1), якую можна разлічыць па наступнай формуле:

|ж| — модуль камплекснага ліку w;

φ – яго аргумент

k гэта параметр, які прымае значэнні: k = {0, 1, 2,…, n-1}.

Квадратныя ўраўненні з камплекснымі каранямі

Выманне кораня з адмоўнага ліку змяняе звычайнае ўяўленне пра uXNUMXbuXNUMXb. Калі дыскрымінант (D) менш за нуль, то сапраўдных каранёў быць не можа, але яны могуць быць прадстаўлены ў выглядзе камплексных лікаў.

Прыклад

Давайце рашым ураўненне x² – 8x + 20 = 0.

Рашэнне

a = 1, b = -8, c = 20

D = b² – 4ac = 64 – 80 = -16

D <0, але мы ўсё яшчэ можам атрымаць корань адмоўнага дыскрымінанта:

√D = √16- = ±4і

Цяпер мы можам вылічыць карані:

x_1,2 = (-b ± √D)/2а = (8 ± 4і)/2 = 4 ± 2і.

Такім чынам, раўнанне x² – 8x + 20 = 0 мае два комплексна спалучаныя карані:

x₁ = 4 + 2і

x₂ = 4 – 2і