Узвядзенне камплекснага ліку ў натуральную ступень

У гэтай публікацыі мы разгледзім, як камплексны лік можна ўзвесці ў ступень (у тым ліку з дапамогай формулы Дэ Муаўра). Для лепшага разумення тэарэтычны матэрыял суправаджаецца прыкладамі.

Узвядзенне камплекснага ліку ў ступень

Па-першае, памятайце, што камплексны лік мае агульны выгляд: z = a + bi (алгебраічны выгляд).

Цяпер можна прыступаць непасрэдна да рашэння задачы.

Квадратны нумар

Мы можам прадставіць ступень як здабытак тых жа множнікаў, а потым знайсці іх здабытак (памятаючы пра гэта i² = -1).

z² = (а + бі)² = (а + бі)(а + бі)

Прыклад 1:

z=3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i)(3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30і

Вы таксама можаце выкарыстоўваць, а менавіта квадрат сумы:

z² = (а + бі)² = a² + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi – b²

нататка: Такім жа чынам пры неабходнасці можна атрымаць формулы квадрата рознасці, куба сумы / рознасці і інш.

N-я ступень

Узвесці камплексны лік z у натуральным выглядзе n нашмат прасцей, калі яго прадставіць у трыганаметрычнай форме.

Нагадаем, што ў агульным выглядзе запіс ліку выглядае так: z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sin φ).

Для ўзвядзення ў ступень вы можаце выкарыстоўваць Формула дэ Муаўра (так названы ў гонар англійскага матэматыка Абрагама дэ Муаўра):

zⁿ = | з |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + i ⋅ sin(nφ))

Формула атрымліваецца запісам у трыганаметрычнай форме (модулі перамнажаюцца, а аргументы складаюцца).

Прыклад 2

Узвесці камплексны лік z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°) да восьмай ступені.

Рашэнне

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + i ⋅ sin(8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (cos 280° + i sin 280°).