У гэтай публікацыі мы разгледзім, што такое метад Гаўса, для чаго ён патрэбны і ў чым яго прынцып. Мы таксама прадэманструем на практычным прыкладзе, як метад можна прымяніць для рашэння сістэмы лінейных ураўненняў.
Апісанне метаду Гаўса
Метад Гаўса гэта класічны метад паслядоўнага ліквідацыі зменных, якія выкарыстоўваюцца для рашэння. Названы ў гонар нямецкага матэматыка Карла Фрыдрыха Гаўса (1777-1885).
Але спачатку давайце нагадаем, што SLAU можа:
- мець адно рашэнне;
- мець бясконцую колькасць рашэнняў;
- быць несумяшчальнымі, г. зн. не мець рашэнняў.
Практычныя перавагі
Метад Гаўса - выдатны спосаб вырашыць СЛАУ, які ўключае больш за тры лінейныя ўраўненні, а таксама сістэмы, якія не з'яўляюцца квадратнымі.
Прынцып метаду Гаўса
Метад ўключае наступныя этапы:
- прамы – дапоўненая матрыца, якая адпавядае сістэме ўраўненняў, прыводзіцца дарэчы над радкамі да верхняга трохкутнага (ступенчатага) выгляду, г. зн. пад галоўнай дыяганаллю павінны быць толькі элементы, роўныя нулю.
- таму – у атрыманай матрыцы элементы над галоўнай дыяганаллю таксама абнуляюцца (трохвугольны від знізу).
Прыклад рашэння SLAE
Давайце рашым прыведзеную ніжэй сістэму лінейных ураўненняў метадам Гаўса.
Рашэнне
1. Для пачатку прадставім СЛАЭ ў выглядзе разгорнутай матрыцы.
2. Цяпер наша задача - скінуць усе элементы пад галоўнай дыяганаллю. Далейшыя дзеянні залежаць ад канкрэтнай матрыцы, ніжэй мы апішам тыя, якія падыходзяць да нашага выпадку. Спачатку мяняем шэрагі месцамі, такім чынам размяшчаючы іх першыя элементы ў парадку ўзрастання.
3. З другога рада ўдвая зменшыць першы, а з трэцяга – патроіць першы.
4. Дадайце другі радок да трэцяга.
5. Адняць другі радок ад першага, а трэці радок адначасова падзяліць на -10.
6. Першы этап завершаны. Цяпер нам трэба атрымаць нулявыя элементы над галоўнай дыяганаллю. Для гэтага з першага шэрагу адніміце трэцюю, памножаную на 7, а да другой дадайце трэцюю, памножаную на 5.
7. Канчатковая пашыраная матрыца выглядае так:
8. Адпавядае сістэме ўраўненняў:
адказ: корань SLAU: x = 2, y = 3, z = 1.