Лінейныя залежны і незалежны рады: азначэнне, прыклады

У дадзенай публікацыі мы разгледзім, што такое лінейная камбінацыя радкоў, лінейна залежныя і незалежныя радкі. Таксама прывядзем прыклады для лепшага разумення тэарэтычнага матэрыялу.

Вызначэнне лінейнай камбінацыі радкоў

Лінейнае спалучэнне (ЛК) тэрмін s₁з₂, …, с_n матрыца A называецца выраз наступнага выгляду:

& Alpha; S₁ + αs₂ + … + αs_n

Калі ўсе каэфіцыенты α_i роўныя нулю, значыць, LC трывіяльны. Іншымі словамі, трывіяльная лінейная камбінацыя роўная нулявой радку.

Напрыклад: 0 · с₁ + 0 · с₂ + 0 · с₃

Адпаведна, калі хаця б адзін з каэфіцыентаў α_i не роўны нулю, то LC роўны нетрывіяльны.

Напрыклад: 0 · с₁ + 2 · с₂ + 0 · с₃

Лінейна залежныя і незалежныя рады

Радковая сістэма гэт лінейна залежны (LZ), калі існуе іх нетрывіяльная лінейная камбінацыя, роўная нулявой лініі.

Адсюль вынікае, што нетрывіяльны LC можа ў некаторых выпадках быць роўны нулявой радку.

Радковая сістэма гэт лінейна незалежны (LNZ), калі толькі трывіяльны LC роўны нулявой радку.

Заўвагі:

• У квадратнай матрыцы сістэма радкоў з'яўляецца LZ толькі ў тым выпадку, калі дэтэрмінант гэтай матрыцы роўны нулю (la = 0).
• У квадратнай матрыцы сістэма радкоў з'яўляецца ЛІС толькі ў тым выпадку, калі дэтэрмінант гэтай матрыцы не роўны нулю (la ≠ 0).

Прыклад задачы

Давайце даведаемся, ці ёсць радковая сістэма {s₁ = {3 4};s₂ = {9 12}} лінейна залежны.

Рашэнне:

1. Спачатку зробім LC.

α₁{3 4} + а₂{9 12}.

2. Зараз давайце даведаемся, якія варта прымаць значэння α₁ и α₂так што лінейная камбінацыя роўная нулявой радку.

α₁{3 4} + а₂{9 12} = {0 0}.

3. Складзем сістэму ўраўненняў:

4. Падзеліце першае ўраўненне на тры, другое — на чатыры:

5. Рашэнне гэтай сістэмы любое α₁ и α₂, С α₁ = -3а₂.

Напрыклад, калі α₂ = 2затым α₁ = -6. Падстаўляем гэтыя значэння ў сістэму ўраўненняў вышэй і атрымліваем:

адказ: таму радкі s₁ и s₂ лінейна залежны.