Уласцівасці вышыні прамавугольнага трохвугольніка

У гэтай публікацыі мы разгледзім асноўныя ўласцівасці вышыні ў прамавугольным трохвугольніку, а таксама разбяром прыклады рашэння задач па гэтай тэме.

нататка: трохкутнік наз прастакутны, калі адзін з яго вуглоў прамы (роўны 90°), а два іншых вострыя (<90°).

Уласцівасці вышыні ў прамавугольным трохвугольніку

Уласцівасць 1

Прамавугольны трохвугольнік мае дзве вышыні (h₁ и h₂) супадаюць з яго катэтамі.

трэцяя вышыня (h₃) апускаецца да гіпатэнузы ад прамога вугла.

Уласцівасць 2

Артацэнтр (кропка перасячэння вышынь) прастакутнага трохвугольніка знаходзіцца ў вяршыні прамога вугла.

Уласцівасць 3

Вышыня ў прамавугольным трохвугольніку, праведзеная да гіпатэнузы, дзеліць яго на два падобных прастакутных трохвугольніка, якія таксама падобныя на зыходны.

1. △ABD ~ △азбука пад двума роўнымі вугламі: ∠АБР = ∠LAC (прамыя), ∠ABD = ∠Азбука

2. △ADC ~ △азбука пад двума роўнымі вугламі: ∠ADC = ∠LAC (прамыя), ∠ACD = ∠ACB.

3. △ABD ~ △ADC пад двума роўнымі вугламі: ∠ABD = ∠DAC, ∠BAD = ∠ACD.

Доказ: ∠BAD = 90° – ∠ABD (ABC). У той жа час ∠ACD (ACB) = 90° – ∠азбука.

Такім чынам, ∠BAD = ∠ACD.

Падобным чынам можна даказаць, што ∠ABD = ∠DAC.

Уласцівасць 4

У прамавугольным трохвугольніку вышыня, праведзеная да гіпатэнузы, вылічваецца наступным чынам:

1. Праз адрэзкі па гіпатэнузе, утвораны ў выніку яе дзялення асновай вышыні:

2. Праз даўжыні старон трохвугольніка:

Гэтая формула атрымана з Уласцівасці сінуса вострага вугла у прамавугольным трохвугольніку (сінус вугла роўны стаўленню процілеглага катэта да гіпатэнузы):

нататка: да прамавугольнага трохвугольніка таксама прымяняюцца агульныя ўласцівасці вышыні, прадстаўленыя ў нашай публікацыі.

Прыклад задачы

Заданне 1

Гіпатэнуза прамавугольнага трохвугольніка падзелена праведзенай да яе вышынёй на адрэзкі 5 і 13 см. Знайдзіце даўжыню гэтай вышыні.

Рашэнне

Давайце скарыстаемся першай формулай, прадстаўленай у Уласцівасць 4:

Заданне 2

Катэты прамавугольнага трохвугольніка роўныя 9 і 12 см. Знайдзіце даўжыню вышыні, праведзенай да гіпатэнузы.

Рашэнне

Спачатку знойдзем даўжыню гіпатэнузы ўздоўж (хай катэты трыкутніка «да» и "B", а гіпатэнуза ёсць «супраць»):

c² = A² + b² = 9² 12 +² = 225.

Такім чынам с = 15 см.

Цяпер мы можам прымяніць другую формулу з Ўласцівасці 4абмяркоўвалася вышэй: