У гэтай публікацыі мы разгледзім адну з асноўных тэарэм эўклідавай геаметрыі – тэарэму Сцюарта, якая атрымала такую назву ў гонар англійскага матэматыка М. Сцюарта, які яе даказаў. Таксама мы падрабязна разбяром прыклад рашэння задачы для замацавання выкладзенага матэрыялу.
Фармулёўка тэарэмы
Данскі трохкутнік азбука. На яго баку AC пункт узяты D, які злучаны з вярх B. Мы прымаем наступныя абазначэнні:
- АВ = а
- да н.э
- BD = р
- AD = х
- DC = і
Для гэтага трохвугольніка выконваецца роўнасць:
Прымяненне тэарэмы
З тэарэмы Сцюарта можна вывесці формулы для знаходжання медыян і бісектрыс трохвугольніка:
1. Даўжыня бісектрысы
Дазваляць lc - гэта бісектрыса, праведзеная да боку c, які падзелены на сегменты x и y. Давайце возьмем дзве іншыя боку трохвугольніка як a и b… У гэтым выпадку:
2. Сярэдняя даўжыня
Дазваляць mc медыяна павернутая ўніз убок c. Астатнія дзве стараны трохвугольніка абазначым як a и b… Затым:
Прыклад задачы
Дадзены трохвугольнік Азбука На баку АС роўны 9 см, пункт узяты D, які дзеліць бок так, што AD удвая даўжэй DC. Даўжыня адрэзка, які злучае вяршыню B і кропка D, складае 5 см. У гэтым выпадку ўтворыцца трохкутнік ABD з'яўляецца раўнабедраным. Знайдзіце астатнія стораны трохвугольніка азбука.
Рашэнне
Адлюструем умовы задачы ў выглядзе малюнка.
AC = AD + DC = 9 см. AD даўжэй DC двойчы, г. зн AD = 2DC.
Такім чынам 2DC + DC = 3DC u9d XNUMX см. Такім чынам, DC = 3 см, AD = 6 см.
Таму што трохкутнік ABD – раўнабедраны, а бакавы AD складае 6 см, таму яны роўныя AB и BDIe AB = 5 см.
Засталося толькі знайсці BC, атрымаўшы формулу з тэарэмы Сцюарта:
Падстаўляем вядомыя значэння ў гэты выраз:
Такім чынам, BC = √52 ≈ 7,21 см.