Сістэма лінейных алгебраічных ураўненняў

У гэтай публікацыі мы разгледзім вызначэнне сістэмы лінейных алгебраічных ураўненняў (СЛАУ), як яна выглядае, якія бываюць тыпы, а таксама як яе прадставіць у матрычным выглядзе, у тым ліку пашыраным.

Азначэнне сістэмы лінейных ураўненняў

Сістэма лінейных алгебраічных ураўненняў (або скарочана "SLAU") - гэта сістэма, якая ў цэлым выглядае так:

• m – колькасць ураўненняў;
• n гэта колькасць зменных.
• x₁, х₂,…, х_n – невядома;
• a₁₁,₁₂…, а_mn – каэфіцыенты для невядомых;
• b₁, б₂,…, б_m – бясплатныя ўдзельнікі.

Індэксы каэфіцыента (a_ij) утвараюцца наступным чынам:

• i – нумар лінейнага ўраўнення;
• j - нумар зменнай, да якой адносіцца каэфіцыент.

Рашэнне СЛАУ – такія лічбы c₁, C₂,…, в_n , у абстаноўцы якога замест x₁, х₂,…, х_n, усе ўраўненні сістэмы ператворацца ў тоеснасці.

Віды СЛАУ

1. Аднародныя – усе свабодныя ўдзельнікі сістэмы роўныя нулю (b₁ = б₂ = … = б_m = 0).

   

2. Гетэрагенныя – калі ўмова вышэй не выконваецца.
3. Плошча – колькасць ураўненняў роўна колькасці невядомых, г. зн m = n.

   

4. Недавызначаны – колькасць невядомых большая за колькасць ураўненняў.

   

5. перавызначаны Ураўненняў больш, чым зменных.

   

У залежнасці ад колькасці рашэнняў СЛАЭ можа быць:

1. Сумесны мае хаця б адно рашэнне. Прычым, калі яна адзіная, сістэма называецца вызначанай, калі рашэнняў некалькі - нявызначанай.

   

   SLAE вышэй з'яўляецца сумесным, таму што ёсць па меншай меры адно рашэнне: х = 2, y = 3.

2. несумяшчальны Сістэма не мае рашэнняў.

   

   Правыя часткі ўраўненняў аднолькавыя, а левыя - не. Такім чынам, рашэнняў няма.

Матрычны запіс сістэмы

SLAE можна прадставіць у выглядзе матрыцы:

AX = B

• A гэта матрыца, утвораная каэфіцыентамі невядомых:

  

• X – слупок зменных:

  

• B – слупок бясплатных удзельнікаў:

  

Прыклад

Мы прадставім сістэму ўраўненняў ніжэй у выглядзе матрыцы:

Выкарыстоўваючы формы вышэй, мы складаем галоўную матрыцу з каэфіцыентамі, слупкамі з невядомымі і свабоднымі членамі.

Поўны запіс дадзенай сістэмы ўраўненняў у матрычным выглядзе:

Пашыраная матрыца SLAE

Калі да матрыцы сістэмы A дадаць слупок бясплатных удзельнікаў справа B, падзяліўшы дадзеныя вертыкальнай палоскай, вы атрымаеце пашыраную матрыцу SLAE.

У прыведзеным вышэй прыкладзе гэта выглядае так:

– абазначэнне пашыранай матрыцы.