У гэтай публікацыі мы разгледзім адну з класічных тэарэм афіннай геаметрыі – тэарэму Чева, якая атрымала такую назву ў гонар італьянскага інжынера Джавані Чева. Таксама разбяром прыклад рашэння задачы з мэтай замацавання выкладзенага матэрыялу.
Фармулёўка тэарэмы
Дадзены трохвугольнік азбука, у якім кожная вяршыня злучана з кропкай на супрацьлеглым баку.
Такім чынам, мы атрымліваем тры сегмента (АА', BB' и CC'), якія называюцца севіяны.
Гэтыя адрэзкі перасякаюцца ў адной кропцы тады і толькі тады, калі выконваецца роўнасць:
|І'| |НЕ'| |CB'| = |да н.э.'| |SHIFT'| |AB'|
Тэарэму можна падаць і ў такім выглядзе (вызначаецца, у якіх адносінах пункты дзеляць бакі):
Трыганаметрычная тэарэма Севы
Заўвага: усе куты арыентаваныя.
Прыклад задачы
Дадзены трохвугольнік азбука з кропкамі ДА', B ' и C ' па баках BC, AC и AB, адпаведна. Вяршыні трохвугольніка злучаюць з дадзенымі пунктамі, а ўтвораныя адрэзкі праходзяць праз адзін пункт. Пры гэтым кропкі ДА' и B ' узятыя ў сярэдзінах адпаведных супрацьлеглых бакоў. Даведайцеся, у якіх суадносінах кропка C ' падзяляе бок AB.
Рашэнне
Нарысуем чарцёж у адпаведнасці з умовамі задачы. Для нашага зручнасці мы прымаем наступныя абазначэнні:
- АВ' = В'С = а
- BA' = A'C = b
Застаецца толькі скласці стаўленне адрэзкаў па тэарэме Чева і падставіць у яго прынятыя абазначэння:
Пасля скарачэння дробаў атрымліваем:
такім чынам, AC' = C'B, г.зн C ' падзяляе бок AB напалову.
Таму ў нашым трохвугольніку адрэзкі АА', BB' и CC' з'яўляюцца медыянамі. Рашыўшы задачу, мы даказалі, што яны перасякаюцца ў адным пункце (справядліва для любога трохвугольніка).
нататка: выкарыстоўваючы тэарэму Чэвы, можна даказаць, што ў трохвугольніку ў адным пункце бісектрысы або вышыні таксама перасякаюцца.