Маленькая тэарэма ферма

У гэтай публікацыі мы разгледзім адну з асноўных тэарэм тэорыі цэлых лікаў –  Маленькая тэарэма ферманазваны ў гонар французскага матэматыка П'ера дэ Ферма. Таксама разбяром прыклад рашэння задачы для замацавання выкладзенага матэрыялу.

Фармулёўка тэарэмы

1. Пачатковы

If p з'яўляецца простым лікам a гэта цэлы лік, які не дзеліцца на pзатым a^п-1 - 1 падзеленае p.

Фармальна гэта пішацца так: a^п-1 ≡ 1 (супраць p).

нататка: Просты лік - гэта натуральны лік, які дзеліцца толькі на XNUMX і само па сабе без астатку.

Напрыклад:

• a = 2
• p = 5
• a^п-1 - 1 = 2^{5 - 1} - 1 = 2⁴ – 1 = 16 – 1 = 15
• нумар 15 падзеленае 5 без астатку.

2. Альтэрнатыва

If p з'яўляецца простым лікам, a любы цэлы лік, то a^p супастаўная з a модуль p.

a^p ≡ а (супраць p)

Гісторыя пошуку доказаў

П'ер дэ Ферма сфармуляваў тэарэму ў 1640 годзе, але сам яе не даказаў. Пазней гэта зрабіў Готфрыд Вільгельм Лейбніц, нямецкі філосаф, логік, матэматык і інш. Мяркуецца, што ў яго ўжо быў доказ у 1683 годзе, хоць ён ніколі не быў апублікаваны. Характэрна, што Лейбніц сам адкрыў тэарэму, не ведаючы, што яна ўжо была сфармулявана раней.

The first proof of the theorem was published in 1736, and it belongs to the Swiss, German and mathematician and mechanic, Leonhard Euler. Fermat’s Little Theorem is a special case of Euler’s theorem.

Прыклад задачы

Знайдзіце рэшту ліку 2¹² on 12.

Рашэнне

Давайце ўявім лік 2¹² as 2⋅2¹¹.

11 з'яўляецца простым лікам, такім чынам, па маленькай тэарэме Ферма мы атрымліваем:

2¹¹ ≡ 2 (супраць 11).

такім чынам, 2⋅2¹¹ ≡ 4 (супраць 11).

Такім чынам, лік 2¹² падзеленае 12 з астаткам, роўным 4.