Знаходжанне адваротнай матрыцы

У дадзенай публікацыі мы разгледзім, што такое зваротная матрыца, а таксама на практычным прыкладзе разбяром, як яе знайсці з дапамогай спецыяльнай формулы і алгарытму паслядоўных дзеянняў.

Азначэнне адваротнай матрыцы

Спачатку давайце ўспомнім, што такое зваротныя велічыні ў матэматыцы. Дапусцім, у нас ёсць лік 7. Тады яго адваротнае лік будзе 7^-1 or ¹/₇. Калі гэтыя лічбы перамнажаць, то атрымаецца адзінка, г.зн. 7 7^-1 = 1.

Прыкладна тое ж самае і з матрыцамі. Зваротны называецца такая матрыца, памнажаючы якую на зыходную, атрымліваем адзінкавую. Яна пазначана як A^-1.

А · А^-1 =E

Алгарытм знаходжання адваротнай матрыцы

Каб знайсці адваротную матрыцу, трэба ўмець разлічваць матрыцы, а таксама валодаць навыкамі выканання з імі пэўных дзеянняў.

Адразу варта адзначыць, што адваротнае можна знайсці толькі для квадратнай матрыцы, і робіцца гэта з дапамогай прыведзенай ніжэй формулы:

|A| – вызначальнік матрыцы;

A^T_M транспанаваная матрыца алгебраічных дапаўненняў.

нататка: калі дэтэрмінант роўны нулю, то зваротнай матрыцы не існуе.

Прыклад

Давайце знойдзем для матрыцы A ніжэй яго адваротны бок.

Рашэнне

1. Спачатку знойдзем вызначальнік зададзенай матрыцы.

2. Зараз давайце зробім матрыцу, якая мае тыя ж памеры, што і зыходная:

Трэба высветліць, якія лічбы замяніць зорачкі. Пачнем з левага верхняга элемента матрыцы. Мінор да яго знаходзяць, закрэсліваючы радок і слупок, у якіх ён знаходзіцца, гэта значыць у абодвух выпадках пад нумарам адзін.

Лічба, якая застаецца пасля прочырк, з'яўляецца патрэбным меншым, г. зн M₁₁ = 8.

Аналагічным чынам знаходзім міноры для астатніх элементаў матрыцы і атрымліваем наступны вынік.

3. Задаём матрыцу алгебраічных складанняў. Як разлічыць іх для кожнага элемента, мы разгледзелі ў асобным.

Напрыклад, для элемента a₁₁ алгебраічнае складанне разглядаецца наступным чынам:

A₁₁ = (-1)^{1 + 1} M₁₁ = 1 · 8 = 8

4. Выканайце транспазіцыю атрыманай матрыцы алгебраічных складанняў (г.зн. памяняйце месцамі слупкі і радкі).

5. Засталося толькі скарыстацца прыведзенай вышэй формулай, каб знайсці адваротную матрыцу.

Мы можам пакінуць адказ у такім выглядзе, не дзелячы элементы матрыцы на лік 11, так як у гэтым выпадку мы атрымаем непрыгожыя дробавыя лікі.

Праверка выніку

Каб пераканацца, што мы атрымалі зваротную да зыходнай матрыцы, мы можам знайсці іх здабытак, які павінен быць роўны адзінкавай матрыцы.

У выніку мы атрымалі матрыцу ідэнтычнасці, а значыць, усё зрабілі правільна.