Крыжаваны здабытак вектараў

У гэтай публікацыі мы разгледзім, як знайсці перакрыжаваны твор двух вектараў, дамо геаметрычную інтэрпрэтацыю, алгебраічную формулу і ўласцівасці гэтага дзеяння, а таксама разбяром прыклад рашэння задачы.

Геаметрычная інтэрпрэтацыя

Вектарны здабытак двух ненулявых вектараў a и b з'яўляецца вектарам c, які пазначаецца як [a, b] or a x b.

Даўжыня вектара c роўная плошчы паралелаграма, пабудаванага з дапамогай вектараў a и b.

У гэтым выпадку, c перпендыкулярна плоскасці, у якой яны знаходзяцца a и b, і размешчаны так, што найменшае кручэнне ад a к b выконвалася супраць гадзіннікавай стрэлкі (з пункту гледжання канца вектара).

Формула крос-прадукту

Прадукт вектараў a = {а_x; да_y,_z} я b = {б_x; б_y, б_z} разлічваецца па адной з формул ніжэй:

Уласцівасці крос-прадуктаў

1. Перакрыжаваны здабытак двух ненулявых вектараў роўны нулю тады і толькі тады, калі гэтыя вектары колінеарныя.

[a, b] = 0, Калі a || b.

2. Модуль перакрыжаванага здабытку двух вектараў роўны плошчы паралелаграма, утворанага гэтымі вектарамі.

S_{паралельна} = |a x b|

3. Плошча трохвугольніка, утворанага двума вектарамі, роўная палове іх вектарнага здабытку.

S_Δ = ¹/₂ · |a x b|

4. Вектар, які з’яўляецца здабыткам двух іншых вектараў, перпендыкулярны да іх.

c ⟂ a, c ⟂ b.

5. a x b = -b x a

6. (м a) х a = a х (м b) = м (a x b)

7. (a + b) х c = a x c + b x c

Прыклад задачы

Вылічыць перакрыжаваны здабытак a = {2; 4; 5} и b = {9; -два; 3}.

Рашэнне:

адказ: a x b = {19; 43; -42}.